home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Internet Surfer: Getting Started / Internet Surfer - Getting Started (Wayzata Technology)(7231)(1995).bin / pc / textfile / mac_faqs / fractal_ < prev    next >
Internet Message Format  |  1995-01-27  |  51KB
  1. Xref: bloom-picayune.mit.edu sci.fractals:496 news.answers:4693
  2. Path: bloom-picayune.mit.edu!enterpoop.mit.edu!snorkelwacker.mit.edu!stanford.edu!agate!sprite.berkeley.edu!shirriff
  3. From: shirriff@sprite.berkeley.edu (Ken Shirriff)
  4. Newsgroups: sci.fractals,news.answers
  5. Subject: Fractal FAQ
  6. Supersedes: <fractal-faq_723845640@sprite.Berkeley.EDU>
  7. Followup-To: sci.fractals
  8. Date: 19 Dec 1992 20:16:35 GMT
  9. Organization: University of California, Berkeley
  10. Lines: 1083
  11. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  12. Expires: 12 Jan 1993 20:17:52 GMT
  13. Message-ID: <fractal-faq_724796272@sprite.Berkeley.EDU>
  14. NNTP-Posting-Host: hijack.berkeley.edu
  15. Summary: Fractal software, algorithms, definitions, and references.
  16. Keywords: fractals, chaos, Mandelbrot
  17.  
  18. Archive-name: fractal-faq
  19. Last-modified: December 7, 1992
  20.  
  21. This file is a frequently asked questions file for sci.fractals.  The purpose
  22. of this file is to collect common fractal questions and answers into a con-
  23. venient file.
  24.  
  25. Like most FAQs, a copy of this FAQ is archived at various places such as pit-
  26. manager.mit.edu [18.72.1.58]: /pub/usenet/news.answers/fractal-faq and
  27. ftp.uu.net [137.39.1.9 or 192.48.96.9]: /usenet/news.answers/fractal-faq.Z .
  28.  
  29. I am happy to receive more information to add to this file.  Also, if you can
  30. correct mistakes you find, let me know.  Remember, this file depends on your
  31. feedback and contributions.  If you think it should have more information on
  32. some area, please send me that information.
  33.  
  34. Please send additions, comments, errors, etc. to Ken Shirriff
  35. (shirriff@sprite.Berkeley.EDU).
  36.  
  37. Updated questions are marked with an asterisk.  The questions which are
  38. answered are:
  39. Q1a: What is fractint?
  40. Q1b: How does fractint achieve its speed?
  41. Q2a: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  42. Q2b: Where can I obtain fractal papers?
  43. Q3: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  44. Q4a: How does anonymous ftp work?
  45. Q4b: What if I can't use ftp to access files?
  46. Q5: Where is alt.fractals.pictures archived?
  47. Q6: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  48. Q7a: What is the Mandelbrot set?
  49. Q7b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  50. Q7c: Why do you start with z=0?
  51. Q7d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  52. Q7e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  53. Q7f: What is the area of the Mandelbrot set?
  54. Q7g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  55. Q7h: Is the Mandelbrot set connected?
  56. Q8a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  57. Q8b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  58. Q8c: How is a Julia set actually computed?
  59. Q8d: What are some Julia set facts?
  60. Q9a: How does complex arithmetic work?
  61. Q9b: How does quaternion arithmetic work?
  62. Q10a: What is an iterated function system (IFS)?
  63. Q10b: What is the state of fractal compression?
  64. Q11a: How can you make a chaotic oscillator?
  65. Q11b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  66. Q12: How are fractal mountains generated?
  67. Q13: What are plasma clouds?
  68. Q14a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  69. Q14b: What are Lyapunov exponents?
  70. Q14c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  71. Q15: What is the logistic equation?
  72. Q16: What is chaos?
  73. Q17: What is nonlinearity? What are nonlinear equations?
  74. Q18: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  75. Q19a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  76. Q19b: What is topological dimension?
  77. Q20: What is a strange attractor?
  78. Q21: How can I join the BITNET fractal discussion?
  79. Q22: How can 3-D fractals be generated?
  80. Q23: What are some general references on fractals and chaos?
  81.  
  82. You can search for the question you're interested in in "rn" or "trn" using
  83. "g^Q11" (that's lower-case g, up-arrow, Q, and a number) where "11" is the
  84. question you wish.  Or you may browse forward using <control-G> to search for
  85. a Subject: line.
  86.  
  87. Questions and answers
  88.  
  89. ------------------------------
  90.  
  91. Subject: Fractint
  92.  
  93. Q1a: What is fractint?
  94. A1a: Fractint is a very popular freeware (not public domain) fractal genera-
  95. tor.  There are DOS, Windows, OS/2, and Unix/X versions.  The DOS version is
  96. the original version, and is the most up-to-date.  The Unix version is still
  97. slightly buggy.
  98.  
  99. Please note: sci.fractals is not a product support newsgroup for fractint.
  100. Bugs in fractint/xfractint should usually go to the authors rather than being
  101. posted.
  102.  
  103. Fractint is on many ftp sites.  For example:
  104. DOS: ftp to wuarchive.wustl.edu [128.252.135.4].  The source is in the file
  105.     /mirrors/msdos/graphics/frasr172.zip.  The executable is in the file
  106.     /mirrors/msdos/graphics/frain172.zip.
  107. Windows: ftp to wuarchive.wustl.edu.  The source is in the file
  108.     /mirrors/msdos/windows3/winsr173.zip.  The executable is in the file
  109.     /mirrors/msdos/windows3/winfr173.zip.
  110. OS/2: available on Compuserve in its GRAPHDEV forum.  The files are PM*.ZIP.
  111.     These files are also available from ftp-os2.nmsu.edu in
  112.     /pub/os2/pmfract.zoo, and from hobbes.nmsu.edu.
  113. Unix: ftp to sprite.berkeley.edu [128.32.150.27].  The source is in the file
  114.     xfract108.shar.Z.  Note: sprite is an unreliable machine; if you can't
  115.     connect to it, try again in a few hours, or try hijack.berkeley.edu.
  116. Macintosh: there is no Macintosh version of fractint, although there are
  117.     several people working on a port. It is possible to run fractint on the
  118.     Macintosh if you use Insignia Software's SoftAT, which is a PC AT emula-
  119.     tor.
  120.  
  121. For European users, these files are available from ftp.uni-koeln.de.  If you
  122. can't use ftp, see the mail server info in Q3.
  123.  
  124. Q1b: How does fractint achieve its speed?
  125. A1b: Fractint's speed (such as it is) is due to a combination of:
  126.  
  127. 1. using fixed point math rather than floating point where possible (huge im-
  128. provement for non-coprocessor machine, small for 486's).
  129.  
  130. 2. exploiting symmetry of fractal.
  131.  
  132. 3. detecting nearly repeating orbits, avoid useless iteration (e.g. repeatedly
  133. iterating 0^2+0 etc. etc.).
  134.  
  135. 4. reducing computation by guessing solid areas (especially the "lake" area).
  136.  
  137. 5. using hand-coded assembler in many places.
  138.  
  139. 6. obtaining both sin and cos from one 387 math coprocessor instruction.
  140.  
  141. 7. using good direct memory graphics writing in 256-color modes.
  142.  
  143. The first four are probably the most important. Some of these introduce er-
  144. rors, usually quite acceptable.
  145.  
  146. ------------------------------
  147.  
  148. Subject: Other fractal software
  149.  
  150. Q2a: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  151. A2a:
  152. For X windows:
  153.     xmntns and xlmntn: these generate fractal mountains.  They can be obtained
  154.         from ftp.uu.net [137.39.1.9] in the directory
  155.         /usenet/comp.sources.x/volume8/xmntns.
  156.     xfroot: generates a fractal root window.
  157.     xmartin: generates a Martin hopalong root window.
  158.     xmandel: generates Mandelbrot/Julia sets.
  159.     xfroot, xmartin, xmandel are part of the X11 distribution.
  160.     lyap: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from: ftp.uu.net in
  161.         /usenet/comp.sources.x/volume16/lyap.
  162.     spider: Uses Thurston's algorithm for computing postcritically finite po-
  163.         lynomials, draws Mandelbrot and Julia sets using the Koebe algorithm,
  164.         and draws Julia set external angles.  Ftp from: lyapunov.ucsd.edu in
  165.         pub/inls-ucsd/spider.
  166.  
  167. Distributed X systems:
  168.     MandelSpawn: computes Mandelbrot/Julia sets on a network of machines.  Ftp
  169.         from: export.lcs.mit.edu [18.24.0.12]: /contrib/mandelspawn-0.06.tar.Z
  170.         or funic.funet.fi[128.214.6.100]: /pub/X11/contrib/mandelspawn-
  171.         0.06.tar.Z.
  172.     gnumandel: computes Mandelbrot images on a network.  Ftp from:
  173.         informatik.tu-muenchen.de [131.159.0.110] in /pub/GNU/gnumandel.
  174.  
  175. For Unix/C:
  176.     lsys: generates L-systems as PostScript or other textual output. No graph-
  177.         ical interface at present. (in C++) Ftp from: ftp.cs.unc.edu in
  178.         pub/lsys.tar.Z.
  179.     lyapunov: generates PGM Lyapunov exponent images.  Ftp from: ftp.uu.net in
  180.         /usenet/comp.sources.misc/volume23/lyapuov.  SPD: contains generators
  181.         for fractal mountain, tree, recursive tetrahedron.  Ftp from:
  182.         princeton.edu [128.112.128.1] in /pub/Graphics.
  183.  
  184. For Mac:
  185.     fractal, L-System, 3DL-System, IFS, FracHill are available from
  186.         ftphost.aukuni.ac.nz [130.216.1.5] in the architec directory.
  187.     fractal-wizard-15.hqx, julias-dream-107.hqx, mandel-net.hqx, mandel-zot-
  188.         304.hqx, and mandella-70.hqx are available from sumex.stanford.edu in
  189.         /info-mac/app.
  190.     mandel-tv: a very fast Mandelbrot generator.  Ftp from: oswego.oswego.edu
  191.         [129.3.1.1] in /pub/mac/da/mandel-tv.hqx.
  192.     There are also commercial programs, such as IFS Explorer and Fractal Clip
  193.     Art, which are published by Koyn Software (314) 878-9125.
  194.  
  195. For NeXT:
  196.     Lyapunov: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  197.         nova.cc.purdue.edu in /pub/next/2.0-release/source.
  198.  
  199. For MSDOS:
  200.     Fractal WitchCraft: a very fast fractal design program.  Ftp from:
  201.         garbo.uwasa.fi [128.214.87.1] in /pc/demo/fw1-08.zip.
  202.     CAL: generates 15 types of fractals including Mandelbrot, Lyapunov, IFS,
  203.         and user-defined formulas.  Ftp from: oak.oakland.edu [141.210.10.117]
  204.         (or any other Simtel mirror) in pub/msdos/graphics/frcal030.zip.
  205.     Fractal Discovery Laboratory: designed for use in a science museum or
  206.         school setting.  The Lab has five sections: Art Gallery ( 72 images --
  207.         Mandelbrots, Julias, Lyapunovs), Microscope ( 85 images -- Biomorph,
  208.         Mandelbrot, Lyapunov, ...), Movies (165 images, 6 "movies":  Mandel-
  209.         brot Evolution, Splitting a Mini-Mandelbrot, Fractal UFO, ...), Tools
  210.         (Gingerbreadman, Lorentz Equations, Fractal Ferns, von Koch Snowflake,
  211.         Sierpinski Gasket), and Library (Dictionary, Books and Articles).
  212.         Sampler available from Compuserver GRAPHDEV Lib 4 in DISCOV.ZIP, or
  213.         send high-density disk and self-addressed, stamped envelope to: Earl
  214.         F. Glynn, 10808 West 105th Street, Overland Park, Kansas 66214-3057.
  215.     There are a whole bunch of fractal programs available from wsmr-
  216.     simtel20.army.mil [192.88.110.20] in the directory "pd1:<msdos.graphics>":
  217.         forb01a.zip: Displays orbits of Mandelbrot mapping. C/E/VGA
  218.         fract30.arc: Mandelbrot/Julia set 2D/3D EGA/VGA Fractal Gen
  219.         fractfly.zip: Create Fractal flythroughs with FRACTINT
  220.         frain172.zip: FRACTINT v17.2 EGA/VGA/XGA fractal generator
  221.         frasr172.zip: C & ASM src for FRACTINT v17.2 fractal gen.
  222.         frcal030.zip: Fractal drawing program: 15 formulae available
  223.         frcaldmo.zip: 800x600x256 demo images for FRCAL030.ZIP
  224.         frpor172.zip: Xfract-compatible Fractint 17.2 source
  225.         fdesign.zip: Program to visually design IFS fractals
  226.  
  227. For Amiga: (all entries marked "ff###" are .lzh files in the Fish Disk set
  228.     available at ux1.cso.uiuc.edu and other sites in /amiga/fish)
  229.     General Mandelbrot generators with many features: Mandelbrot (ff030), Man-
  230.         del (ff218), Mandelbrot (ff239), TurboMandel (ff302), MandelBltiz
  231.         (ff387), SMan (ff447), MandelMountains (ff383, in 3-D), MandelPAUG
  232.         (ff452, MandFXP movies), MandAnim (ff461, anims),  ApfelKiste (ff566,
  233.         very fast), MandelSquare (ff588, anims)
  234.     Mandelbrot and Julia sets generators: MandelVroom (ff215), Fractals
  235.         (ff371, also Newton-R and other sets)
  236.     With different algorithmic approaches (shown): FastGro (ff188, DLA),
  237.         IceFrac (ff303, DLA), DEM (ff303, DEM), CPM (ff303, CPM in 3-D), Frac-
  238.         talLab (ff391, any equation)
  239.     Iterated Function System generators (make ferns, etc): FracGen (ff188,
  240.         uses "seeds"), FCS (ff465), IFSgen (ff554), IFSLab (ff696, "Collage
  241.         Theorem")
  242.     Unique fractal types: Cloud (ff216, cloud surfaces), Fractal (ff052, ter-
  243.         rain), IMandelVroom (strange attractor contours?), Landscape (ff554,
  244.         scenery), Scenery (ff155, scenery), Plasma (ff573, plasma clouds)
  245.     Fractal generators (I do not know their features): PolyFractals (ff015),
  246.         FFEX (ff549)
  247.     Lyapunov fractals: Ftp /pub/aminet/new/lyapunovia.lha from ftp.luth.se.
  248.     Commercial packages: Fractal Pro 5.0, Scenery Animator 2.0, Vista Profes-
  249.         sional
  250.  
  251. Please inform me of any other programs you know of.
  252.  
  253. Q2b: Where can I obtain fractal papers?
  254. A2b: There are several sites with fractal papers:
  255.  
  256. There is an archive site for preprints and programs on nonlinear dynamics and
  257. related subjects at lyapunov.ucsd.edu [132.239.86.10].  There are also arti-
  258. cles on dynamics, including the IMS preprint series, available from
  259. math.sunysb.edu [129.49.31.57].
  260.  
  261. A collection of short papers on fractal formulas, drawing methods, and
  262. transforms is available from ftp.coe.montana.edu in /pub/fractals.
  263.  
  264. ------------------------------
  265.  
  266. Subject: Fractal items
  267.  
  268. Q3: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  269. A3: One source is Art Matrix, P.O. box 880, Ithaca, New York, 14851, 1-800-
  270. PAX-DUTY.  Another source is Media Magic; they sell many fractal posters,
  271. calendars, videos, software, t-shirts, ties, and a huge variety of books on
  272. fractals, chaos, graphics, etc.  Media Magic is at PO Box 598 Nicasio, CA
  273. 94946, 415-662-2426.
  274.  
  275. ------------------------------
  276.  
  277. Subject: Ftp questions
  278.  
  279. Q4a: How does anonymous ftp work?
  280. A4a: Anoynmous ftp is a method of making files available to anyone on the In-
  281. ternet.  In brief, if you are on a system with ftp (e.g. Unix), you type "ftp
  282. lyapunov.ucsd.edu", or whatever system you wish to access.  You are prompted
  283. for your name and you reply "anonymous".  You are prompted for your password
  284. and you reply with your email address.  You then use "ls" to list the files,
  285. "cd" to change directories, "get" to get files, and "quit" to exit.  For exam-
  286. ple, you could say "cd /pub", "ls", "get README", and "quit"; this would get
  287. you the file "README".
  288.  
  289. Q4b: What if I can't use ftp to access files?
  290. A4b: If you don't have access to ftp because you are on a uucp/Fidonet/etc
  291. network there is an e-mail gateway at ftpmail@decwrl.dec.com that can retrieve
  292. the files for you.  To get instructions on how to use the ftp gateway send a
  293. blank message to ftpmail@decwrl.dec.com with one line containing the word
  294. 'help'.
  295.  
  296. This is a sample message of how to retrieve xfractint from
  297. sprite.Berkeley.EDU:
  298. % mail ftpmail@decwrl.dec.com
  299. Subject:  <ignored>
  300. reply <yourname>@<yoursite>
  301. connect sprite.berkeley.edu anonymous
  302. dir         /* note: you can give a pathname here to list */
  303. binary
  304. uuencode    /* note: this command is optional and the default is btoa */
  305. get xfract108.shar.Z
  306. quit
  307.  
  308. That would retrieve a directory of the archive, then xfract108.shar.Z.  Note
  309. that the dir command is important to learn if the filename has changed.  To
  310. receive xfract108.shar.Z, you must set the server to "binary" mode because the
  311. file is compressed.  Compressed files are then either sent out uuencoded or
  312. btoa'd.  So, you must obtain copies of the programs will receive.  (Most Unix
  313. systems have uudecode and uncompress.) Ask your local computer guru for cla-
  314. rification on how to do this.
  315.  
  316. ------------------------------
  317.  
  318. Subject: Archived pictures
  319.  
  320. Q5: Where is alt.fractals.pictures archived?
  321. A5: Alt.fractals.pictures is the newsgroup for fractal images (GIFs, etc.).
  322. The pictures are available via anonymous ftp from csus.edu [130.86.90.1] in
  323. /pub/alt.fractals.pictures.
  324.  
  325. ------------------------------
  326.  
  327. Subject: Learning about fractals
  328.  
  329. Q6: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  330. A6: There is a book list at the end.  _Chaos_ is a good book to get a general
  331. overview and history.  _Fractals Everywhere_ is a textbook on fractals that
  332. describes what fractals are and how to generate them, but it requires knowing
  333. intermediate analysis.  _Chaos, Fractals, and Dynamics_ is also a good start.
  334.  
  335. ------------------------------
  336.  
  337. Subject: The Mandelbrot set
  338.  
  339. Q7a: What is the Mandelbrot set?
  340. A7a: The Mandelbrot set is the set of all complex c such that iterating z ->
  341. z^2+c does not go to infinity (starting with z=0).
  342.  
  343. Q7b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  344. A7b: The basic algorithm is:
  345. For each pixel c, start with z=0.  Repeat z=z^2+c up to N times, exiting if
  346. the magnitude of z gets large.
  347. If you finish the loop, the point is probably inside the Mandelbrot set.  If
  348. you exit, the point is outside and can be colored according to how many
  349. iterating were completed.  You can exit if |z|>2, since if z gets this big it
  350. will go to infinity.  The maximum number of iterations, N, can be selected as
  351. desired, for instance 100.  Larger N will give sharper detail but take longer.
  352.  
  353. Q7c: Why do you start with z=0?
  354. A7c: Zero is the critical point of z^2+c, that is, a point where d/dz (z^2+c)
  355. = 0.  If you replace z^2+c with a different function, the starting value will
  356. have to be modified.  E.g. for z->z^2+z+c, the critical point is given by
  357. 2z+1=0, so start with z=-1/2.
  358.  
  359. Critical points are important because by a result of Fatou, every attracting
  360. cycle for a polynomial or rational function attracts at least one critical
  361. point.  Thus, testing the critical point shows if there is any stable attrac-
  362. tive cycle.  See also:
  363.  
  364. [1]  M. Frame and J. Robertson, A Generalized Mandelbrot Set and the Role of
  365. Critical Points, _Computers and Graphics, Vol. 16_ 16, 1 (1992), pp. 35-40.
  366.  
  367. Note that you can precompute the first Mandelbrot iteration by starting with
  368. z=c instead of z=0, since 0^2+c=c.
  369.  
  370. Q7d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  371. A7d: The Mandelbrot set lies within |c|<=2.  If |z| exceeds 2, the z sequence
  372. diverges.  Proof: if |z|>2, then |z^2+c| >= |z^2|-|c| > 2|z|-|c|.  If
  373. |z|>=|c|, then 2|z|-|c| > |z|.  So, if |z|>2 and |z|>=c, |z^2+c|>|z|, so the
  374. sequence diverges.  Also, note that z1=c, so if |c|>2, the sequence diverges.
  375.  
  376. Q7e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  377. A7e: See:
  378.  
  379. 1.  R. Rojas, A Tutorial on Efficient Computer Graphic Representations of the
  380. Mandelbrot Set, _Computers and Graphics_ 15, 1 (1991), pp. 91-100.
  381.  
  382. Q7f: What is the area of the Mandelbrot set?
  383. A7f: Ewing and Schober computed an area estimate using 240,000 terms of the
  384. Laurent series.  The result is 1.7274...  The behavior of the approximations
  385. suggests that the limit is between 1.66 and 1.71.  However, the estimates of
  386. the area from below, using pixel counting, show that the area is at least
  387. 1.52.  The large gap between the lower bound 1.52 and the upper bound 1.71 may
  388. possibly be an indication that the boundary of the Mandelbrot set has positive
  389. area.  Reference:
  390.  
  391. 1.  J. H. Ewing and G. Schober, The Area of the Mandelbrot Set, _Numer. Math._
  392. 61 (1992), pp. 59-72.
  393.  
  394. Q7g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  395. A7g: Most of what you could want to know is in Branner's article in _Chaos and
  396. Fractals: The Mathematics Behind the Computer Graphics_.
  397.  
  398. Note that the Mandelbrot set is _not_ self-similar; the tiny copies of the
  399. Mandelbrot set are all slightly different, mainly because of the thin threads
  400. connecting them to the main body of the Mandelbrot set.  However, the
  401. Mandelbrot set is quasi-self-similar.  Reference:
  402.  
  403. 1.  T. Lei, Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets,
  404. _Communications in Mathematical Physics_ 134 (1990), pp. 587-617.
  405.  
  406. The boundary of the Mandelbrot set has Hausdorff dimension 2 and has
  407. topological dimension 1.  (Since the boundary has empty interior, the
  408. topological dimension is less than 2, and thus is 1.)  Reference:
  409.  
  410. 1.  M. Shishikura, The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Mandelbrot
  411. Set and Julia Sets, It is shown that the boundary of the Mandelbrot set M has
  412. Hausdorff dimension two and that for a generic c in M, the Julia set of z ->
  413. z^2+c also has  Hausdorff dimension two. The proof is based on the study of
  414. the bifurcation of parabolic periodic points.  The paper is available from
  415. anonymous ftp to math.sunysb.edu [129.49.18.1] in /preprints/ims91-7.
  416.  
  417. The "external angles" of the Mandelbrot set (see Douady and Hubbard or brief
  418. sketch in "Beauty of Fractals") induce a Fibonacci partition onto it.
  419.  
  420. Q7h: Is the Mandelbrot set connected?
  421. A7h: The Mandelbrot set is simply connected.  This follows from a theorem of
  422. Douady and Hubbard that there is a conformal isomorphism from the complement
  423. of the Mandelbrot set to the complement of the unit disk.  (In other words,
  424. all equipotential curves are simple closed curves.) It is conjectured that the
  425. Mandlebrot set is locally connected, and thus pathwise connected, but this is
  426. currently unproved.
  427.  
  428. Connectedness definitions:
  429.  
  430. Connected: X is connected if there are no proper closed subsets A and B of X
  431. such that A union B = X, but A intersect B is empty.  I.e. X is connected if
  432. it is a single piece.
  433.  
  434. Simply connected: X is simply connected if it is connected and every closed
  435. curve in X can be deformed in X to some constant closed curve.  I.e. X is
  436. simply connected if it has no holes.
  437.  
  438. Locally connected: X is locally connected if for every point p in X, for every
  439. open set U containing p, there is an open set V containing p and contained in
  440. the connected component of p in U.  I.e. X is locally connected if every
  441. connected component of every open subset is open in X.
  442.  
  443. Arcwise (or path) connected: X is arcwise connected if every two points in X
  444. are joined by an arc in X.
  445.  
  446. (The definitions are from _Encyclopedic Dictionary of Mathematics_.)
  447.  
  448. ------------------------------
  449.  
  450. Subject: Julia sets
  451.  
  452. Q8a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  453. A8a: The Mandelbrot set iterates z^2+c with z starting at 0 and varying c.
  454. The Julia set iterates z^2+c for fixed c and varying starting z values.  That
  455. is, the Mandelbrot set is in parameter space (c-plane) while the Julia set is
  456. in dynamical or variable space (z-plane).
  457.  
  458. Q8b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  459. A8b: Each point c in the Mandelbrot set specifies the geometric structure of
  460. the corresponding Julia set.  If c is in the Mandelbrot set, the Julia set
  461. will be connected.  If c is not in the Mandelbrot set, the Julia set will be a
  462. Cantor dust.
  463.  
  464. Q8c: How is a Julia set actually computed?
  465. A8c: The Julia set can be computed by iteration similar to the Mandelbrot
  466. computation.  Alternatively, points on the boundary of the Julia set can be
  467. computed quickly by using inverse iterations.
  468.  
  469. Q8d: What are some Julia set facts?
  470. A8d: The Julia set of any rational map of degree greater than one is perfect
  471. (hence in particular uncountable and nonempty), completely invariant, equal to
  472. the Julia set of any iterate of the function, and also is the boundary of the
  473. basin of attraction of every attractor for the map (see "Complex Analytic
  474. Dynamics on the Riemann Sphere").
  475.  
  476. ------------------------------
  477.  
  478. Subject: Complex arithmetic and quaternion arithmetic
  479.  
  480. Q9a: How does complex arithmetic work?
  481. A9a: It works mostly like regular algebra with a couple additional formulas:
  482. (note: a,b are reals, x,y are complex, i is the square root of -1)
  483. i^2 = -1
  484. exp(a+i*b) = exp(a)(cos(b)+i*sin(b))
  485. From these:
  486. Addition: (a+i*b)+(c+i*d) = (a+c)+i*(b+d)
  487. Multiplication: (a+i*b)*(c+i*d) = a*c-b*d + i*(a*d+b*c)
  488. Division: (a+i*b)/(c+i*d) = (a+i*b)*(c-i*d)/(c^2+d^2)
  489. Sine: sin(x) = (exp(i*x)-exp(-i*x))/(2*i)
  490. Cos: cos(x) = (exp(i*x)+exp(-i*x)/2
  491. Magnitude: |a+i*b| = sqrt(a^2+b^2)
  492. Log: log(a+i*b) = log(|a+i*b|)+i*arctan(b/a)  (Note: log is multivalued.)
  493. Complex powers: x^y = exp(y*log(x))
  494. DeMoivre's theorem: x^a = r^a * [cos(a*theta) + i * sin(a*theta)]
  495. More details can be found in any complex analysis book.
  496.  
  497. Q9b: How does quaternion arithmetic work?
  498. A9b: Quaternions have 4 components (a+ib+jc+kd) compared to the two of complex
  499. numbers.  Operations such as addition and multiplication can be performed on
  500. quaternions, but multiplication is not commutative.  Quaternions satisfy the
  501. rules i^2=j^2=k^2=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j.
  502.  
  503. ------------------------------
  504.  
  505. Subject: Iterated function systems
  506.  
  507. Q10a: What is an iterated function system (IFS)?
  508. A10a: If a fractal is self-similar, you can specify various mappings that map
  509. the whole onto the parts.  By taking a point and repeatedly applying these
  510. mappings you end up with a collection of points on the fractal.  In other
  511. words, instead of a single mapping x -> F(x), there is a collection of
  512. (usually linear) mappings, and random selection chooses which mapping is used.
  513.  
  514. Iterated function systems can be used to make things such as fractal ferns and
  515. trees and are also used in fractal image compression.  _Fractals Everywhere_
  516. by Barnsley is mostly about iterated function systems.
  517.  
  518. Q10b: What is the state of fractal compression?
  519. A10b: (Much of this information comes from the comp.compression FAQ, available
  520. from FAQ archive sites as compression-faq.  That FAQ has more information and
  521. a long list of references.  The state of fractal compression seems to be quite
  522. controversial, with some people claiming it doesn't work well, and others
  523. claiming it works wonderfully.)
  524.  
  525. Tal Kubo <kubo@zariski.harvard.edu> states:
  526.  
  527. According to Barnsley's book 'Fractals Everywhere', this method is based on a
  528. measure of deviation between a given image and its approximation by an IFS
  529. code.  The Collage Theorem states that there is a convergent process to
  530. minimize this deviation.  Unfortunately, according to an article Barnsley
  531. wrote for BYTE a few years ago, this convergence was rather slow, about 100
  532. hours on a Cray, unless assisted by a person.
  533.  
  534. Barnsley et al are not divulging any technical information beyond the meager
  535. bit in 'Fractals Everywhere'.  The book explains the idea of IFS codes at
  536. length, but is vague about the application of the Collage theorem to specific
  537. compression problems.
  538.  
  539. There is reason to believe that Barnsley's company has *no algorithm* which
  540. takes a given reasonable image and achieves the compression ratios initially
  541. claimed for their fractal methods.  The 1000-to-1 compression advertised was
  542. achieved only for a 'rigged' class of images, with human assistance. The best
  543. unaided performance I've heard of is good lossy compression of about 80-1.
  544.  
  545. But Yuval Fisher <fisher@inls1.ucsd.edu> disagrees:
  546.  
  547. Their performance has improved dramatically beyond what they were talking
  548. about in BYTE a few years ago.  Human assistance to the compression is no
  549. longer needed and the compression time is reasonable, although the more time
  550. and compute power you throw at the compression, the smaller the resulting file
  551. for the same level of quality.
  552.  
  553. Kevin Ring provided information on Iterated Systems, Inc.'s products.  They
  554. have a Windows viewer, compressor, and magnifier program, as well as a
  555. hardware assist board.  They claim compression ratios such as 80:1, 154:1,
  556. 614:1, and 2546:1.
  557.  
  558. An introductory paper is:
  559.  
  560. 1.  A. E. Jacquin, Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated
  561. Contractive Image Transformation, _IEEE Transactions on Image Processing_,
  562. January 1992.
  563.  
  564. A fractal decompression demo program is available by anonymous ftp to
  565. lyapunov.ucsd.edu [132.239.86.10] in /pub/inls-ucsd/fractal-2.0.
  566.  
  567. Another MS-DOS compression demonstration program is available by anonymous ftp
  568. to lyapunov.ucsd.edu in /pub/young-fractal.
  569.  
  570. ------------------------------
  571.  
  572. Subject: Chaotic demonstrations
  573.  
  574. Q11a: How can you make a chaotic oscillator?
  575. A11a: Two references are:
  576.  
  577. 1.  T. S. Parker and L. O. Chua, Chaos: a tutorial for engineers, _Proceedings
  578. IEEE_ 75 (1987), pp. 982-1008.
  579.  
  580. 2.  _New Scientist_, June 30, 1990, p. 37.
  581.  
  582. Q11b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  583. A11b: Two references are:
  584.  
  585. 1.  K. Briggs, Simple Experiments in Chaotic Dynamics, _American Journal of
  586. Physics_ 55, 12 (Dec 1987), pp. 1083-1089.
  587.  
  588. 2.  J. L. Snider, Simple Demonstration of Coupled Oscillations, _American
  589. Journal of Physics_ 56, 3 (Mar 1988), p. 200.
  590.  
  591. ------------------------------
  592.  
  593. Subject: Fractal mountains
  594.  
  595. Q12: How are fractal mountains generated?
  596. A12: Usually by a method such as taking a triangle, dividing it into 3
  597. subtriangles, and perturbing the center point.  This process is then repeated
  598. on the subtriangles.  This results in a 2-d table of heights, which can then
  599. be rendered as a 3-d image.
  600.  
  601. ------------------------------
  602.  
  603. Subject: Plasma clouds
  604.  
  605. Q13: What are plasma clouds?
  606. A13: They are a fractint fractal and are similar to fractal mountains.
  607. Instead of a 2-d table of heights, the result is a 2-d table of intensities.
  608. They are formed by repeatedly subdividing squares.
  609.  
  610. ------------------------------
  611.  
  612. Subject: Lyapunov fractals
  613.  
  614. Q14a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  615. A14a: See:
  616.  
  617. 1.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  618. 1991, pp. 178-180.
  619.  
  620. 2.  M. Markus and B. Hess, Lyapunov Exponents of the Logistic Map with
  621. Periodic Forcing, _Computers and Graphics_ 13, 4 (1989), pp. 553-558.
  622.  
  623. 3.  M. Markus, Chaos in Maps with Continuous and Discontinuous Maxima,
  624. _Computers in Physics_, Sep/Oct 1990, pp. 481-493.
  625.  
  626. Q14b: What are Lyapunov exponents?
  627. A14b:
  628.  
  629. Lyapunov exponents quantify the amount of linear stability or instability of
  630. an attractor, or an asymptotically long orbit of a dynamical system.  There
  631. are as many lyapunov exponents as there are dimensions in the state space of
  632. the system, but the largest is usually the most important.
  633.  
  634. Given two initial conditions for a chaotic system, a and b, which are close
  635. together, the average values obtained in successive iterations for a and b
  636. will differ by an exponentially increasing amount.  In other words, the two
  637. sets of numbers drift apart exponentially.  If this is written e^(n*(lambda))
  638. for n iterations, then e^(lambda) is the factor by which the distance between
  639. closely related points becomes stretched or contracted in one iteration.
  640. Lambda is the Lyapunov exponent.  At least one Lyapunov exponent must be
  641. positive in a chaotic system.  A simple derivation is available in:
  642.  
  643. 1.  H. G. Schuster, _Deterministic Chaos: An Introduction_, Physics Verlag,
  644. 1984.
  645.  
  646. Q14c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  647. A14c: For the common periodic forcing pictures, the lyapunov exponent is:
  648.  
  649. lambda = limit as N->infinity of 1/N times sum from n=1 to N of log2(abs(dx
  650. sub n+1 over dx sub n))
  651.  
  652. In other words, at each point in the sequence, the derivative of the iterated
  653. equation is evaluated.  The Lyapunov exponent is the average value of the log
  654. of the derivative.  If the value is negative, the iteration is stable.  Note
  655. that summing the logs corresponds to multiplying the derivatives; if the
  656. product of the derivatives has magnitude < 1, points will get pulled closer
  657. together as they go through the iteration.
  658.  
  659. MS-DOS and Unix programs for estimating Lyapunov exponents from short time
  660. series are available from lyapunov.ucsd.edu in /pub/ncsu.
  661.  
  662. Computing Lyapunov exponents in general is more difficult.  Some references
  663. are:
  664.  
  665. 1.  H. D. I. Abarbanel, R. Brown and M. B. Kennel, Lyapunov Exponents in
  666. Chaotic Systems: Their importance and their evaluation using observed data,
  667. _International Journal of Modern Physics B_ 56, 9 (1991), pp. 1347-1375.
  668.  
  669. 2.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  670. 1991, pp. 178-180.
  671.  
  672. 3.  M. Frank and T. Stenges, _Journal of Economic Surveys_ 2 (1988), pp. 103-
  673. 133.
  674.  
  675. 4.  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  676. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  677.  
  678. ------------------------------
  679.  
  680. Subject: Logistic equation
  681.  
  682. Q15: What is the logistic equation?
  683. A15: It models animal populations.  The equation is x -> c*x*(1-x), where x is
  684. the population (between 0 and 1) and c is a growth constant.  Iteration of
  685. this equation yields the period doubling route to chaos.  For c between 1 and
  686. 3, the population will settle to a fixed value.  For larger c, the population
  687. will oscillate between two values, then four values, eight, sixteen, etc.  For
  688. still larger c (between 3.57 and 4), the population behavior is chaotic (for
  689. most c values).  See "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems" for more
  690. information.)
  691.  
  692. ------------------------------
  693.  
  694. Subject: Chaos
  695.  
  696. Q16: What is chaos?
  697. A16: An attractor is chaotic if at least one of its Lyapunov exponents is
  698. positive.  Chaos results from the existence of a chaotic attractor.
  699.  
  700. Chaos is the recurrent behavior of a deterministic dynamical system in which
  701. the phase-space divergence of nearby trajectories at an exponential rate
  702. results in a limited predictability horizon.
  703.  
  704. In chaotic iterated systems of the form x_{i+1}=f(x_i), the result after
  705. iteration is extremely sensitive to the initial value such that
  706. f^n(x_0+(epsilon)) is nowhere near f^n(x_0).
  707.  
  708. Chaos results from our inability to predict the future behavior of a
  709. deterministic system from initial conditions because of its great sensitivity
  710. to initial conditions.
  711.  
  712. Chaos is apparently unpredictable behavior arising in a deterministic system.
  713.  
  714. ------------------------------
  715.  
  716. Subject: Nonlinearity
  717.  
  718. Q17: What is nonlinearity? What are nonlinear equations?
  719. A17: Nonlinear maps fail to satisfy the condition that f(ax+by)=af(x)+bf(y)
  720. where x and y are vectors, and a and b are scalars.  e.g. f(x)=ax is linear.
  721. f(x)=x^2 is nonlinear.  Nonlinearity is a map or term that is not linear.
  722.  
  723. A nonlinear system gives an output which is not proportional to the
  724. corresponding input.  Nonlinear dynamical systems possess nonlinear dynamical
  725. laws, which are functions of the system's state variables.
  726.  
  727. In linear systems, dy/dx is a constant, while in nonlinear systems dy/dx=some
  728. nonconstant function of x.
  729.  
  730. Nonlinear equations fail to exhibit linear superimposability.  Nonlinear
  731. equations can be categorized by differentiability, discontinuity, and "memory"
  732. (e.g. hysteresis in an electric circuit), etc.  This can be important to some
  733. types of nonlinear analysis such as the Popov hyperstability criterion.
  734.  
  735. Nonlinearity References:
  736.  
  737. 1.  W. A. Brock and E. G. Baek, Some Theory of Statistical Inference for
  738. Nonlinear Science, _Review of Economic Studies_ 58, 4 (1991), pp. 697-716.
  739.  
  740. 2.  J. Guckenheimer and P. Holmes, _Nonlinear Oscillations Dynamical Systems
  741. and Bifurcations of Vector Fields_, Springer-Verlag, New York, 1983.
  742.  
  743. 3.  D. Zelinsky, _A First Course in Linear Algebra_, Academic Press, 1973.
  744.  
  745. ------------------------------
  746.  
  747. Subject: What is a fractal?
  748.  
  749. Q18: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  750. A18: A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided
  751. in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the
  752. whole.  (A definition from B. Mandelbrot)
  753.  
  754. A fractal is a set of points whose fractal (Hausdorff) dimension exceeds its
  755. topological dimension.
  756.  
  757. Examples of fractals: Sierpinski triangle, Koch snowflake, Peano curve,
  758. Mandlebrot set.
  759.  
  760. ------------------------------
  761.  
  762. Subject: Fractal dimension
  763.  
  764. Q19a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  765. A19a: A common type of fractal dimension is the Hausdorff-Besikovich
  766. Dimension.
  767.  
  768. Roughly, fractal dimension can be calculated by taking the limit of the
  769. quotient of the log change in object size and the log change in measurement
  770. scale, as the measurement scale approaches zero.  The differences come in what
  771. is exactly meant by "object size" and what is meant by "measurement scale" and
  772. how to get an average number out of many different parts of a geometrical
  773. object.  Fractal dimensions quantify the static *geometry* of an object.
  774.  
  775. For example, consider a straight line.  Now blow up the line by a factor of
  776. two.  The line is now twice as long as before.  Log 2 / Log 2 = 1,
  777. corresponding to dimension 1.  Consider a square.  Now blow up the square by a
  778. factor of two.  The square is now 4 times as large as before (i.e. 4 original
  779. squares can be placed on the original square).  Log 4 / log 2 = 2,
  780. corresponding to dimension 2 for the square.  Consider a snowflake curve
  781. formed by repeatedly replacing ___ with _/\_, where each of the 4 new lines is
  782. 1/3 the length of the old line.  Blowing up the snowflake curve by a factor of
  783. 3 results in a snowflake curve 4 times as large (one of the old snowflake
  784. curves can be placed on each of the 4 segments _/\_).  Log 4 / log 3 =
  785. 1.261...  Since the dimension 1.261 is larger than the dimension 1 of the
  786. lines making up the curve, the snowflake curve is a fractal.
  787.  
  788. Fractal dimension references:
  789.  
  790. 1.  J. P. Eckmann and D. Ruelle, _Reviews of Modern Physics_ 57, 3 (1985), pp.
  791. 617-656.
  792.  
  793. 2.  K. J. Falconer, _The Geometry of Fractal Sets_, Cambridge Univ.  Press,
  794. 1985.
  795.  
  796. 3.  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  797. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  798.  
  799. 4.  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_, Springer-
  800. Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains many
  801. color and black and white photographs, high level math, and several
  802. pseudocoded algorithms.
  803.  
  804. 5.  G. Procaccia, _Physica D_ 9 (1983), pp. 189-208.
  805.  
  806. 6.  J. Theiler, _Physical Review A_ 41 (1990), pp. 3038-3051.
  807.  
  808. References on how to estimate fractal dimension:
  809.  
  810. 1.  E. Peters, _Chaos and Order in the Capital Markets_, New York, 1991.  ISBN
  811. 0-471-53372-6 Discusses methods of computing fractal dimension.  Includes
  812. several short programs for nonlinear analysis.
  813.  
  814. 2.  J. Theiler, Estimating Fractal Dimension, _Journal of the Optical Society
  815. of America A-Optics and Image Science_ 7, 6 (June 1990), pp. 1055-1073.
  816.  
  817. Fractal dimension software:
  818.  
  819. Fractal Dimension Calculator is a Macintosh program which uses the box-
  820. counting method to compute the fractal dimension of planar graphical objects.
  821. It is available by anonymous ftp from wuarchive.wustl.edu The path is:
  822. /mirrors4/architec/Fractals/FracDim.sit.hqx.
  823.  
  824. Q19b: What is topological dimension?
  825. A19b: Topological dimension is the "normal" idea of dimension; a point has
  826. topological dimension 0, a line has topological dimension 1, a surface has
  827. topological dimension 2, etc.
  828.  
  829. For a rigorous definition:
  830.  
  831. A set has topological dimension 0 if every point has arbitrarily small
  832. neighborhoods whose boundaries do not intersect the set.
  833.  
  834. A set S has topological dimension k if each point in S has arbitrarily small
  835. neighborhoods whose boundaries meet S in a set of dimension k-1, and k is the
  836. least nonnegative integer for which this holds.
  837.  
  838. ------------------------------
  839.  
  840. Subject: Strange attractors
  841.  
  842. Q20: What is a strange attractor?
  843. A20: A strange attractor is the limit set of a chaotic trajectory.
  844.  
  845. A strange attractor is an indecomposable closed invariant set that "attracts"
  846. the points about it which contains a transversal homoclinic orbit.  (This
  847. orbit accounts for the strangeness.)
  848.  
  849. A strange attractor is a phase space locus of a bounded long-term dynamical
  850. behavior which has a nonzero probability of being observed - its basin of
  851. attraction has positive measure - and contains not a smooth manifold
  852. structure, but rather a self-similar or fractal structure.  Note: While all
  853. chaotic attractors are strange, not all strange attractors are chaotic.
  854. Reference:
  855.  
  856. 1.  Grebogi, et al., Strange Attractors that are not Chaotic, _Physica D_ 13
  857. (1984), pp. 261-268.
  858.  
  859. Consider a volume in phase space defined by all the initial conditions a
  860. system may have.  For a dissipative system, this volume will shrink as the
  861. system evolves in time (Liouville's Theorem).  If the system is sensitive to
  862. initial conditions, the trajectories of the points defining initial conditions
  863. will move apart in some directions, closer in others, but there will be a net
  864. shrinkage in volume.  Ultimately, all points will lie along a fine line of
  865. zero volume.  This is the strange attractor.  All initial points in phase
  866. space which ultimately land on the attractor form a Basin of Attraction.
  867. Note: A strange attractor results if a system is sensitive to initial
  868. conditions and is not conservative.
  869.  
  870. A strange attractor is the surfaces which the state of a chaotic system will
  871. be confined to, given time for transients to die out.
  872.  
  873. ------------------------------
  874.  
  875. Subject: How can I join the BITNET fractal discussion?
  876.  
  877. Q21: How can I join the BITNET fractal discussion?
  878. A21: There is a fractal discussion on BITNET that uses an automatic mail
  879. server that sends mail to a distribution list.  To join it, send a message to
  880. listserv@gitvm1.bitnet with the following as text:
  881. SUBSCRIBE FRAC-L John Doe    (where John Doe is replaced by your name)
  882. To unsubscribe, send the message:
  883. UNSUBSCRIBE FRAC-L
  884. If that doesn't unsubscribe you, you can try:
  885. SIGNOFF FRAC-L (GLOBAL
  886. If that doesn't work or you have other problems, you can contact the list
  887. administrator.  You can obtain their name by sending the message:
  888. REVIEW FRAC-L
  889.  
  890. ------------------------------
  891.  
  892. Subject: 3-D fractals
  893.  
  894. Q22: How can 3-D fractals be generated?
  895. A22: A common source for 3-D fractals is to compute Julia sets with
  896. quaternions instead of complex numbers.  The resulting Julia set is four
  897. dimensional.  By taking a slice through the 4-D Julia set (e.g. by fixing one
  898. of the coordinates), a 3-D object is obtained.  This object can then be
  899. displayed using computer graphics techniques such as ray tracing.
  900.  
  901. The papers to read on this are:
  902.  
  903. 1.  J. Hart, D. Sandin and L. Kauffman, Ray Tracing Deterministic 3-D
  904. Fractals, _SIGGRAPH_, 1989, pp. 289-296.
  905.  
  906. 2.  A. Norton, Generation and Display of Geometric Fractals in 3-D,
  907. _SIGGRAPH_, 1982, pp. 61-67.
  908.  
  909. 3.  A. Norton, Julia Sets in the Quaternions, _Computers and Graphics,_ 13, 2
  910. (1989), pp. 267-278.
  911.  
  912. Instead of quaternions, you can of course use other functions.  For instance,
  913. you could use the regular Mandelbrot formula, but vary both c and z0,
  914. resulting in a 4-D Mandelbrot set.
  915.  
  916. Another way of generating 3-D fractals is to use 3-D iterated function systems
  917. (IFS).  These are analogous to 2-D IFS, except they generate points in a 3-D
  918. space.
  919.  
  920. A third way of generating 3-D fractals is to take a 2-D fractal such as the
  921. Mandelbrot set, and convert the pixel values to heights to generate a 3-D
  922. "Mandelbrot mountain".  This 3-D object can then be rendered with normal
  923. computer graphics techniques.
  924.  
  925. ------------------------------
  926.  
  927. Subject: What are some general references?
  928.  
  929. Q23: What are some general references on fractals and chaos?
  930. A23: Some references are:
  931.  
  932. 1.  M. Barnsley, _Fractals Everywhere_, Academic Press Inc., 1988.  ISBN 0-
  933. 12-079062-9.  This is an excellent text book on fractals.  This is probably
  934. the best book for learning about the math underpinning fractals It is also a
  935. good source for new fractal types.
  936.  
  937. 2.  M. Barnsley and L. Hurd, _Fractal Image Compression_, Jones and Bartlett,
  938. December, 1992.  ISBN 0-86720-457-5. This book explores the science of the
  939. fractal transform in depth. The authors begin with a foundation in information
  940. theory and present the technical background for fractal image compression. In
  941. so doing, they explain the detailed workings of the fractal transform.
  942. Algorithms are illustrated using source code in C.
  943.  
  944. 3.  M. Barnsley and L. Anson, _The Fractal Transform_, Jones and Bartlett,
  945. April, 1993.  ISBN 0-86720-218-1. This book is a sequel to _Fractals
  946. Everywhere_. Without assuming a great deal of technical knowledge, the authors
  947. explain the workings of the Fractal Transform (tm). The Fractal Transform is
  948. the compression tool for storing high-quality images in a minimal amount of
  949. space on a computer. Barnsley uses examples and algorithms to explain how to
  950. transform a stored pixel image into its fractal representation.
  951.  
  952. 4.  R. Devaney and L. Keen, eds., _Chaos and Fractals: The Mathematics Behind
  953. the Computer Graphics_, American Mathematical Society, Providence, RI, 1989.
  954. This book contains detailed mathematical descriptions of chaos, the Mandelbrot
  955. set, etc.
  956.  
  957. 5.  R. L. Devaney, _An Introduction to Chaotic Dynamical Systems_, Addison-
  958. Wesley, 1989.  ISBN 0-201-13046-7.  This book introduces many of the basic
  959. concepts of modern dynamical systems theory and leads the reader to the point
  960. of current research in several areas. It goes into great detail on the exact
  961. structure of the logistic equation and other 1-D maps.  The book is fairly
  962. mathematical using calculus and topology.
  963.  
  964. 6.  R. L. Devaney, _Chaos, Fractals, and Dynamics_, Addison-Wesley, 1990.
  965. ISBN 0-201-23288-X.  This is a very readable book.  It introduces chaos
  966. fractals and dynamics using a combination of hands-on computer experimentation
  967. and precalculus math.  Numerous full-color and black and white images convey
  968. the beauty of these mathematical ideas.
  969.  
  970. 7.  R. Devaney, _A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Theory and
  971. Experiment_, Addison Wesley, 1992.  A nice undergraduate introduction to chaos
  972. and fractals.
  973.  
  974. 8.  G. A. Edgar, _Measure Topology and Fractal Geometry_, Springer- Verlag
  975. Inc., 1990.  ISBN 0-387-97272-2.  This book provides the math necessary for
  976. the study of fractal geometry.  It includes the background material on metric
  977. topology and measure theory and also covers topological and fractal dimension,
  978. including the Hausdorff dimension.
  979.  
  980. 9.  K. Falconer, _Fractal Geometry: Mathematical Foundations and
  981. Applications_, Wiley, New York, 1990.
  982.  
  983. 10.  J. Feder, _Fractals_, Plenum Press, New York, 1988.  This book is
  984. recommended as an introduction.  It introduces fractals from geometrical
  985. ideas, covers a wide variety of topics, and covers things such as time series
  986. and R/S analysis that aren't usually considered.
  987.  
  988. 11.  J. Gleick, _Chaos: Making a New Science_, Penguin, New York, 1987.
  989.  
  990. 12.  S. Levy, _Artificial life : the quest for a new creation_, Pantheon
  991. Books, New York, 1992.  This book takes off where Gleick left off.  It looks
  992. at many of the same people and what they are doing post-Gleick.
  993.  
  994. 13.  H. B. Lin, ed., _Chaos_, World Scientific, Singapore, 1984.  This is an
  995. excellent collection of papers on chaos containing some of the most
  996. significant reports on chaos such as ``Deterministic Nonperiodic Flow'' by
  997. E.N.Lorenz.
  998.  
  999. 14.  B. Mandlebrot, _The Fractal Geometry of Nature_, W. H.  FreeMan and Co.,
  1000. New York.  ISBN 0-7167-1186-9.  In this book Mandelbrot attempts to show that
  1001. reality is fractal-like.  He also has pictures of many different fractals.
  1002.  
  1003. 15.  H. O. Peitgen and P. H. Richter, _The Beauty of Fractals_, Springer-
  1004. Verlag Inc., New York, 1986.  ISBN 0-387-15851-0.  Lots of neat pictures.
  1005. There is also an appendix giving the coordinates and constants for the color
  1006. plates and many of the other pictures.
  1007.  
  1008. 16.  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_,
  1009. Springer-Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains
  1010. many color and black and white photographs, high level math, and several
  1011. pseudocoded algorithms.
  1012.  
  1013. 17.  H. Peitgen, H. Jurgens and D. Saupe, _Fractals for the Classroom_,
  1014. Springer-Verlag, New York, 1992.  This book is aimed at advanced secondary
  1015. school students (but is appropriate for others too has lots of examples,
  1016. explains the math well, and gives BASIC programs.
  1017.  
  1018. 18.  C. Pickover, _Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an
  1019. Unseen World_, St. Martin's Press, New York, 1990.  This book contains a bunch
  1020. of interesting explorations of different fractals.
  1021.  
  1022. 19.  J. Pritchard, _The Chaos Cookbook: A Practical Programming Guide_,
  1023. Butterworth-Heinemann, Oxford, 1992.  ISBN 0-7506-0304-6. It contains type-
  1024. in-and-go listings in BASIC and Pascal. It also eases you into some of the
  1025. mathematics of fractals and chaos in the context of graphical experimentation.
  1026. So it's more than just a type-and-see-pictures book, but rather a lab
  1027. tutorial, especially good for those with a weak or rusty (or even non-
  1028. existent) calculus background.
  1029.  
  1030. 20.  P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, _The Algorithmic Beauty of Plants_,
  1031. Springer-Verlag, NY, 1990.  ISBN 0-387-97297-8. A very good book L-systems,
  1032. which can be used to model plants in a VERY realistic fashion (the book
  1033. contains a lot of pictures).
  1034.  
  1035. 21.  M. Schroeder, _Fractals, Chaos, and Power Laws: Minutes from an Infinite
  1036. Paradise_, W. H. Freeman, New York, 1991.  This book contains a clearly
  1037. written explanation of fractal geometry with lots of puns and word play.
  1038.  
  1039. 22.  D. Stein, ed., _Proceedings of the Santa Fe Institute's Complex Systems
  1040. Summer School_, Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1988.  See esp. the first
  1041. article by David Campbell: ``Introduction to nonlinear phenomena''.
  1042.  
  1043. 23.  R. Stevens, _Fractal Programming in C_, M&T Publishing, 1989 ISBN 1-
  1044. 55851-038-9.  This is a good book for a beginner who wants to write a fractal
  1045. program.  Half the book is on fractal curves like the Hilbert curve and the
  1046. von Koch snow flake.  The other half covers the Mandlebrot, Julia, Newton, and
  1047. IFS fractals.
  1048.  
  1049. 24.  I. Stewart, _Does God Play Dice?: the Mathematics of Chaos_, B.
  1050. Blackwell, New York, 1990.
  1051.  
  1052. 25.  T. Wegner and M. Peterson, _Fractal Creations_, The Waite Group, 1991.
  1053. This is the book describing the Fractint program.
  1054.  
  1055. Journals:
  1056. "Chaos and Graphics" section in the quarterly journal _Computers and
  1057. Graphics_.  This contains recent work in fractals from the graphics
  1058. perspective, and usually contains several exciting new ideas.
  1059. "Mathematical Recreations" section by A. K. Dewdney in _Scientific American_.
  1060. Algorithms - The Personal Computer Newsletter.  P.O. Box 29237, Westmount
  1061. Postal Outlet, 785 Wonderland Road S., London, Ontario, Canada, N6K 1M6.
  1062. Mandala
  1063. Fractal Report.  Reeves Telecommunication Labs. West Towan House, Pothtowan,
  1064. TRURO, Cornwall TR4 8AX, U.K.
  1065. Amygdala.  P.O. Box 219 San Cristobal, NM  87564-0219.  This is a newsletter
  1066. about the Mandelbrot Set and other fractals.  A trial subscription for 6
  1067. issues is $15 to: Amygdala Box 219 / San Cristobal, NM 87564.  Contact Rollo
  1068. Silver (rsilver@lanl.gov) for more information.
  1069. FRAC'Cetera.  This is a gazetteer of the world of fractals and related areas,
  1070. supplied in IBM PC format.  For more information, contact:  Jon Horner, Editor
  1071. FRAC'Cetera, Le Mont Ardaine, Rue des Ardains, St. Peters, Guernsey, Channel
  1072. Islands, United Kingdom.
  1073.  
  1074. Articles:
  1075.  
  1076. 1.  P. Blanchard, Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere, _Bull. of
  1077. the Amer. Math. Soc_ 11, 1 (July 1984), pp. 85-141.  This article is a
  1078. detailed discussion of the mathematics of iterated complex functions. It
  1079. covers most things about Julia sets of rational polynomial functions.
  1080.  
  1081. ------------------------------
  1082.  
  1083. Subject: Acknowledgements
  1084.  
  1085. For their help with this file, thanks go to:
  1086. Alex Antunes, Erik Boman, Jacques Carette, John Corbit, Abhijit Deshmukh,
  1087. Robert Drake, Gerald Edgar, Gordon Erlebacher, Duncan Foster, Murray Frank,
  1088. Jean-loup Gailly, Earl Glynn, Lamont Granquist, Luis Hernandez-Ure:a, Arto
  1089. Hoikkala, Carl Hommel, Robert Hood, Oleg Ivanov, Simon Juden, J. Kai-Mikael,
  1090. Leon Katz, Matt Kennel, Tal Kubo, Jon Leech, Tom Menten, Guy Metcalfe, Eugene
  1091. Miya, Miriam Nadel, Ron Nelson, Tom Parker, Dale Parson, Matt Perry, Francois
  1092. Pitt, Michael Rolenz, Tom Scavo, Jeffrey Shallit, Rollo Silver, Gerolf Starke,
  1093. Bruce Stewart, Dwight Stolte, Tommy Vaske, Tim Wegner, Andrea Whitlock, Erick
  1094. Wong, Wayne Young, and others.
  1095.  
  1096. Special thanks to Matthew J. Bernhardt (mjb@acsu.buffalo.edu) for collecting
  1097. many of the chaos definitions.
  1098.  
  1099. Copyright 1992 Ken Shirriff (shirriff@sprite.Berkeley.EDU).  Please contact me
  1100. if you wish to distribute this file on other systems.
  1101.